OpenAI oznámila, že její systém vyřešil jeden ze sedmi problémů tisíciletí, konkrétně Navierovy-Stokesovy rovnice. Otázka, zda se hladké trojrozměrné proudění může zhroutit, zůstávala otevřená přibližně devadesát let. Umělá inteligence na ni podle firmy potřebovala zhruba 88 hodin a kolem deseti tisíc současně pracujících agentů. Za vyřešení je vypsaná odměna milion dolarů, o kterou ale OpenAI nestojí. Ještě než se oznámení stihlo rozjet po sítích, začala se kolem něj kupit nepříjemná obvinění.
K čemu ty rovnice slouží
Zamíchejte lžičkou v hrnku vody. Vznikne vír, jedna část kapaliny se rozjede rychleji než druhá, mění se tlak a do hry vstupuje vnitřní tření. Přesně takové dění umí popsat Navierovy-Stokesovy rovnice, které vznikly už v devatenáctém století z práce Claude-Louise Naviera a George Gabriela Stokese. Staví na Newtonově druhém pohybovém zákonu a s kapalinou zacházejí jako se spojitým prostředím, nikoli jako se sadou jednotlivých molekul. Inženýři podle nich navrhují letadla, meteorologové počítají předpovědi a lékaři jimi popisují proudění krve.
Samotné rovnice tedy žádnou záhadou nejsou. Matematiky trápilo něco jiného. Chtěli vědět, zda se ten spojitý popis kapaliny nemůže rozsypat. Zjišťovali, jestli rovnice pro trojrozměrnou nestlačitelnou kapalinu s konstantní hustotou dokážou vytvořit takzvanou singularitu, i když proudění začne hladce. Singularita v tomto případě znamená, že rychlosti v kapalině začnou v konečném čase růst nade všechny meze. A to navzdory vnitřnímu tření, které pohyb naopak vyhlazuje. Skutečná kapalina se nekonečně rychle pohybovat nemůže, takže by šlo o selhání samotného modelu.
Jean Leray v roce 1934 dokázal, že řešení existují v obecnějším smyslu, otázka jejich hladkosti ale zůstala otevřená. V roce 2000 zařadil Clayův matematický institut tento rébus mezi sedm problémů tisíciletí.
Vír, který se protáhne jako špageta
Systém OpenAI vyprodukoval analytický důkaz i formalizaci v jazyce Lean. Podle nich může kapalina, která začne hladce a v klidu, v konečném čase singularitu vytvořit. Na tekutinu přitom působí hladká vnější síla a její celková energie zůstává po celou dobu omezená. Tím se podle firmy vyřešily varianty „C“ a „D“ oficiálního zadání Clayova institutu.
Představa za tímto jevem je překvapivě názorná. Jde o rotující vír, který se stáčí dovnitř a přitom se čím dál víc protahuje, trochu jako špageta. Střed se zmenšuje a zároveň zrychluje tak, aby energie stále zůstávala konečná, jak vyžadují fyzikální zákony. Ošemetné na tom je, že se rozpad musí zrodit z pohybu kapaliny samotné, nikoli z toho, že by do ní někdo ručně vložil nekonečnou sílu. Zrychlení, tlakové spády, přenos hybnosti a viskozita musí naráz vyrůst do obřích hodnot a zároveň se navzájem s velkou přesností odečíst.
Jeden detail se přitom snadno ztratí. Nikdo netvrdí, že voda ponechaná sama sobě začne bezdůvodně zrychlovat až do nekonečna. OpenAI řeší variantu, ve které na tekutinu působí hladká vnější síla, což je přímo součást oficiálního zadání.
Rovnici řešily tisíce agentů
Od 28. srpna OpenAI trénuje nový model, který podle ní překonává její vlastní testy včetně matematických, a tento trénink stále běží. V úterý 1. září se k firmě donesly zvěsti, že někdo vyřešil dva problémy tisíciletí. To ji podnítilo k tomu, aby nový model pustila na všechny dosud otevřené problémy tisíciletí a několik dalších těžkých otázek. Místo jednoho modelu s jednou otázkou nastoupila armáda. Agenti dostali k ruce nástroje, mohli číst uloženou kopii internetu i spouštět kód a byli rozděleni do skupin, které spolu uvnitř komunikovaly. Skupina, ze které vyšlo řešení Navierových-Stokesových rovnic, čítala řádově deset tisíc agentů běžících naráz.
Nejdřív ale padlo něco menšího. Firma pustila agenty i na lehčí úlohy, mimo jiné na obdobnou otázku pro Eulerovy rovnice, což jsou Navierovy-Stokesovy rovnice bez členu popisujícího vnitřní tření. Agenti ji vyřešili, což OpenAI podle vlastních slov zaskočilo. Na této části pracovala necelá stovka agentů asi padesát hodin. Když firma viděla eulerovský výsledek, přesunula síly od ostatních problémů a poskytla ho agentům, kteří se pustili do plných rovnic. Mezi skupinami pak nechala kolovat nejužitečnější postřehy pomocí nástroje Codex. Řešení bylo na světě v sobotu 5. září, přibližně 88 hodin po startu.
Pak přišla na řadu kontrola. Lean je systém pro formální dokazování, který strojově prověří, zda každý jednotlivý krok odpovídá přesně daným pravidlům. U stostránkového textu totiž hrozí, že bude znít přesvědčivě, a přesto v něm bude schovaná chyba. Formalizace a ověření v Leanu zabraly dalších sedmnáct hodin a odvedl je model GPT-6 Astra.
Účet za tuto šarvátku vypadá spíš jako z datového centra než z matematického semináře. Jen u Navierových-Stokesových rovnic si agenti poslali 2,7 milionu zpráv a vyprodukovali kolem 130 miliard tokenů. Přes všechny problémy dohromady to bylo 4,9 milionu zpráv a asi 300 miliard tokenů. Kdyby se tento výpočetní čas účtoval za běžné ceny modelu Astra, vyšel by na nějakých 22,5 milionu dolarů.
Byl OpenAI opravdu první
Matematik Tristan Buckmaster z newyorského Courantova institutu ještě před oznámením OpenAI zveřejnil text, ve kterém popsal, že spolu s Leventem Alpögem, vědcem pracujícím pro Anthropic, došli za pomoci několika modelů od obou firem k téměř totožnému řešení jedné části problému. Tento dílčí výsledek je sám o sobě velkým úspěchem a významným krokem k rozlousknutí celé hádanky.
Podle Buckmasterova vyjádření se dvojice během dokončování své práce dozvěděla, že se informace o jejich pokroku donesla k OpenAI. První výzva pro model konkurenční firmy podle něj odešla až v posledních dnech, tedy poté, co se o jejich výzkumu protistrana dozvěděla. Buckmaster také popsal jednání ze 6. září, tlak ohledně publikace i autorství a snahu vynechat Alpögeho kvůli jeho zaměstnání v Anthropicu.
Vedoucí matematického týmu OpenAI Sébastien Bubeck tato obvinění odmítá. Podle něj model k datům dvojice nijak nepřišel. Na tiskovém brífinku prohlásil, že firma nepoužila jejich prompty ani důkazy k navádění svých agentů. Bubeck zároveň připouští, že plný důkaz Navierových-Stokesových rovnic šel podobnou cestou, jakou používali Buckmaster s Alpögem, avšak eulerovskou část podle něj vnitřní model vyřešil úplně jinak. Sama OpenAI ve svém textu uznává prvenství dvojice u vynucené eulerovské verze. Popisuje, že jí nabídla společné oznámení, a tvrdí, že nikdo z týmu ani agentů jejich práci před zveřejněním neviděl.
Zajímavý je i jeden postřeh z druhé strany. Buckmaster s Alpögem si svůj důkaz ověřili v Leanu, ale výklad, který jim jazykové modely napsaly slovy, byl podle nich téměř nečitelný. Museli proto jednotlivé kroky rozebírat a přepisovat tak, aby jim rozuměli i ostatní lidé.
Kolegům z branže se navíc nezamlouvá způsob, jakým se výsledky předvádějí. Terence Tao, kterého mnozí považují za nejlepšího žijícího matematika, si během šíření zvěstí posteskl na sítích nad tím, že firmy používají tyto staré problémy jako marketingový doklad síly svých modelů.
Matematici si zatím nechávají zadní vrátka
Matematická obec teprve musí posoudit, zda výsledek splňuje podmínky pro oficiální řešení problému tisíciletí. První ohlasy však naznačují, že se záhadu skutečně podařilo rozlousknout.
Otevřená přitom zůstává verze bez vnější síly, tedy ta, která by se nejvíc blížila obyčejné vodě ponechané sobě samé. Princetonský matematik Stan Palasek upozornil na překážku v jedné z navrhovaných cest k takovému výsledku. Podle jeho argumentu by ztráta energie vnitřním třením převážila nad mechanismem, který má rychlost rozehnat. Tao si jeho poznámku pochvaloval a navrhl prozkoumat jednodušší model, na němž by se toto vzájemné působení dalo lépe pozorovat.
Zdroje: bbc.com a theverge.com
