Nach acht Jahrzehnten vergeblicher Bemühungen ist eines der berühmtesten ungelösten Rätsel der Geometrie gefallen. Gelöst wurde es von einem Chatbot.
OpenAI gab bekannt, dass sein Sprachmodell die sogenannte Erdős-Vermutung über Punktabstände in der Ebene, auch als Problem der Einheitsabstände bekannt, widerlegt hat. Der Beweis wurde von einer Gruppe aus neun externen Mathematikern geprüft. Ihr Urteil war eindeutig: Es handelt sich um den ersten Fall, in dem künstliche Intelligenz selbstständig ein Problem gelöst hat, das für ein ganzes Teilgebiet der Mathematik von zentraler Bedeutung ist.
„Kein früherer von künstlicher Intelligenz erzeugter Beweis kam diesen Standards auch nur annähernd nahe“, schrieb Timothy Gowers, Mathematiker an der Universität Cambridge und Träger der Fields-Medaille, in einem von OpenAI angeforderten Kommentar.
Das Problem der Einheitsabstände
Der legendäre ungarische Mathematiker Paul Erdős stellte 1946 eine scheinbar einfache Frage: Wenn man n Punkte in einer Ebene verteilt, wie viele Punktpaare können dann genau eine Einheit voneinander entfernt liegen? Probieren Sie es selbst aus. Zeichnen Sie neun Punkte. Das Ziel besteht darin, möglichst viele Punktpaare zu erhalten, die genau einen Zentimeter voneinander entfernt sind. Ordnen Sie sie in einer Reihe an, erhalten Sie acht solcher Paare. Zeichnen Sie ein Drei-mal-drei-Raster, erhalten Sie zwölf Paare.
Erdős behauptete, dass die bestmögliche Anordnung nur geringfügig schneller wächst als die Anzahl der Punkte selbst. 80 Jahre lang konnte dies niemand bestätigen oder widerlegen. Dabei gingen nahezu alle Fachleute davon aus, dass Erdős recht hatte. Die damals beste bekannte obere Schranke, die 1984 von Spencer, Szemerédi und Trotter aufgestellt wurde, besagte, dass die Anzahl der Paare einen Wert von ungefähr n hoch 4/3 nicht überschreiten kann. Die beste bekannte untere Schranke, also die besten tatsächlich konstruierten Konfigurationen, konnte diese Lücke jedoch nicht schließen.
Wie gelangte das Modell von OpenAI zu seinem Ergebnis?
Die Mathematiker Mehtaab Sawhney und Mark Sellke von OpenAI übergaben das Problem einem internen Sprachmodell, das für allgemeines Schlussfolgern trainiert worden war. Sie halfen ihm nicht Schritt für Schritt und lenkten es nicht auf das Thema hin. Nach Hunderten Seiten mit Berechnungen und logischen Schritten gelangte das Modell selbstständig zu einem Ergebnis. Und dieses Ergebnis war überraschend. Das Modell fand keine Bestätigung für die Erdős-Vermutung. Es widerlegte sie.
Es konstruierte eine unendliche Familie von Punktkonfigurationen, die für ein festes positives δ mindestens n^(1+δ) Paare mit Einheitsabstand erreichen. Mit anderen Worten: Es zeigte, dass es Punktanordnungen gibt, die wesentlich besser funktionieren, als jahrzehntelang angenommen wurde.
Der Fortschritt mag auf den ersten Blick bescheiden erscheinen. Der Princeton-Wissenschaftler Will Sawin präzisierte das Ergebnis kurz darauf und bestimmte den Exponenten mit δ = 0,014. Die Zahl ist zwar klein, doch der Fortschritt, den sie darstellt, ist enorm. Zum ersten Mal in der Geschichte hat jemand eine Anordnung konstruiert, deren Leistung polynomiell schneller wächst, als es die Erdős-Vermutung annahm. Damit ist sie buchstäblich widerlegt. „Es ist eine erstaunliche Erfahrung, wenn eine Maschine einem etwas liefert, das wirklich meiner eigenen Denkweise ähnelt“, sagte Sawhney.
Algebraische Zahlentheorie in einem geometrischen Problem
Was genau hat das Modell getan? Anstelle eines einfachen quadratischen Gitters konstruierte es eine komplexere, in einer höheren Dimension existierende Struktur, die spezielle mathematische Symmetrien nutzt. Anschließend entwickelte es eine Methode, um diese mehrdimensionale Struktur als eine Art „Schattenprojektion“ zurück in die Ebene abzubilden. Die resultierende Konfiguration ist kein Gitter. Sie lässt sich selbst auf einem großen Blatt Papier nicht ohne Weiteres zeichnen.
Die entscheidenden Werkzeuge stammen aus der algebraischen Zahlentheorie, konkret aus der Theorie der sogenannten Klassenkörpertürme und dem Satz von Golod-Shafarevich. Es handelt sich um ein Instrumentarium, das zuvor niemand mit diesem geometrischen Problem in Verbindung gebracht hatte.
Das Modell entdeckte keine völlig neuen mathematischen Werkzeuge. Es verwendete bestehende Methoden. Doch niemand vor ihm hatte sie miteinander verknüpft und auf das Problem der Einheitsabstände angewandt. „Das Modell hat nichts grundlegend Neues erfunden, das niemand hätte kommen sehen“, sagt Sébastien Bubeck, der Mathematiker, der die mathematische Forschung bei OpenAI leitet. „Es hat sich einfach als großartiger Mathematiker erwiesen.“
Warum haben Menschen dies 80 Jahre lang nicht erkannt?
Die Harvard-Mathematikerin Melanie Wood hat darauf eine klare Antwort. Die Menschen irrten sich in ihrer Annahme, nicht in der Mathematik. Die überwiegende Mehrheit der Fachleute glaubte, dass Erdős recht hatte, und investierte ihre Energie eher in die Suche nach einem Beweis für seine Vermutung als in deren Widerlegung. Jene, die versuchten, sie zu widerlegen, hätten den Weg über die komplexe algebraische Geometrie wahrscheinlich aufgegeben, bevor sie ihn zu Ende gegangen wären, weil sie kein vielversprechendes Anzeichen für einen Erfolg sahen.
Doch KI funktioniert anders. „KI hat einen Vorteil: Es geht nicht nur darum, dass sie alle bekannten Methoden ausprobieren kann“, sagt Jacob Tsimerman von der Universität Toronto. „Sie kann länger und in gefährlicheren Gewässern spielen, ohne sich davon entmutigen zu lassen.“ Hätte man dieselbe Gruppe von Mathematikern versammelt und sie nach einem Gegenbeispiel suchen lassen, hätten sie es wahrscheinlich gefunden. „Vielleicht sollten Menschen mehr Zeit damit verbringen, den Advokaten des Teufels zu spielen“, sagt Wood.
Der Beweis hat die strengste Prüfung bestanden
OpenAI ging diesmal vorsichtig vor. Und das aus gutem Grund. Sieben Monate zuvor hatte der damalige OpenAI-Vizepräsident Kevin Weil auf X mit großem Tamtam verkündet, GPT-5 habe zehn zuvor ungelöste Erdős-Probleme gelöst. Das Ergebnis brach innerhalb weniger Tage in sich zusammen. Es stellte sich heraus, dass das Modell lediglich Lösungen gefunden hatte, die bereits in der Fachliteratur existierten. Demis Hassabis von Google DeepMind spottete, und die Konkurrenz jubelte. Weil löschte seinen Beitrag anschließend.
Diesmal wandte sich OpenAI im Voraus an Mathematiker. Unter ihnen war auch Thomas Bloom, ein Mathematiker, der Weils frühere Behauptung als „dramatische Verzerrung der Tatsachen“ bezeichnet hatte. Nun steht Bloom hinter dem neuen Ergebnis. Neun führende Mathematiker verfassten eine begleitende Überprüfungsstudie. Timothy Gowers erklärte, er würde ohne Zögern empfehlen, das Ergebnis in den Annals of Mathematics zu veröffentlichen, einer der renommiertesten mathematischen Fachzeitschriften der Welt. „Dies ist das einzige wirklich interessante Ergebnis, das KI bisher autonom hervorgebracht hat“, sagt Daniel Litt von der Universität Toronto.
Auswirkungen auf die Mathematik und die KI-Forschung
Sawhney und Sellke arbeiten für OpenAI daran zu testen, ob fortgeschrittene Modelle zur Forschung an den Grenzen des Wissens beitragen können. Das Modell, das das Problem gelöst hat, ist kein spezialisiertes mathematisches Werkzeug. Es handelt sich um ein allgemeines Modell, das für komplexes Schlussfolgern trainiert wurde. Mathematiker weisen darauf hin, dass das Ergebnis ohne menschliche Beteiligung nicht so überzeugend wäre. Menschen spielten eine Rolle bei der Bereinigung, Überprüfung und Interpretation der KI-Ausgabe. „Menschen spielen weiterhin eine entscheidende Rolle bei der Diskussion, Verarbeitung und Verfeinerung dieses Beweises sowie bei der Erforschung seiner Konsequenzen“, schrieb der Mathematiker Thomas Bloom.
Es gibt jedoch auch einen ernsthaften Kritikpunkt. Wood wies darauf hin, dass das Modell in seiner Ausgabe nicht auf verwandte bestehende Arbeiten einging und deren Urhebern keine Anerkennung zollte. „Wenn wir Mathematiker ähnliche Ideen in der Literatur nicht bemerken und sie nicht entsprechend würdigen würden, wäre das ein berufliches Fehlverhalten“, sagt sie. Litt ist unterdessen vorsichtig optimistisch. Beim Problem der Einheitsabstände handelte es sich offenbar um einen jener Fälle, in denen Fachleute eine relativ geradlinige Lösung schlicht übersehen hatten. „Ich glaube, wir werden erst noch feststellen, dass es nicht so wenige solcher Fälle gibt, wie wir dachten.“
Und Bloom fügt augenzwinkernd hinzu: „KI hilft uns dabei, die Kathedrale der Mathematik, die wir seit Jahrhunderten errichten, umfassender zu erkunden. Welche weiteren, für uns unsichtbaren Schätze warten hinter der nächsten Ecke?“
