OpenAI gab bekannt, dass sein System eines der sieben Millennium-Probleme gelöst habe, konkret die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Frage, ob eine glatte dreidimensionale Strömung kollabieren kann, war rund neunzig Jahre lang offen geblieben. Nach Angaben des Unternehmens benötigte die künstliche Intelligenz dafür etwa 88 Stunden und rund zehntausend gleichzeitig arbeitende Agenten. Für die Lösung ist ein Preisgeld von einer Million Dollar ausgesetzt, an dem OpenAI jedoch kein Interesse hat. Noch bevor sich die Nachricht in den sozialen Netzwerken verbreiten konnte, häuften sich bereits unangenehme Vorwürfe.
Wozu diese Gleichungen dienen
Rühren Sie mit einem Löffel in einer Tasse Wasser. Es entsteht ein Wirbel, ein Teil der Flüssigkeit bewegt sich schneller als ein anderer, der Druck verändert sich und die innere Reibung kommt ins Spiel. Genau solche Vorgänge können die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben, die bereits im neunzehnten Jahrhundert aus den Arbeiten von Claude-Louis Navier und George Gabriel Stokes hervorgingen. Sie beruhen auf dem zweiten Newtonschen Bewegungsgesetz und behandeln eine Flüssigkeit als kontinuierliches Medium, nicht als Ansammlung einzelner Moleküle. Ingenieure entwerfen damit Flugzeuge, Meteorologen berechnen Vorhersagen und Ärzte beschreiben damit den Blutfluss.
Die Gleichungen selbst sind also kein Rätsel. Die Mathematiker beschäftigte etwas anderes. Sie wollten wissen, ob diese kontinuierliche Beschreibung einer Flüssigkeit zusammenbrechen kann. Sie untersuchten, ob die Gleichungen für eine dreidimensionale inkompressible Flüssigkeit mit konstanter Dichte eine sogenannte Singularität erzeugen können, selbst wenn die Strömung glatt beginnt. Eine Singularität bedeutet in diesem Fall, dass die Geschwindigkeiten in der Flüssigkeit innerhalb endlicher Zeit über alle Grenzen hinaus anwachsen. Und das trotz der inneren Reibung, die die Bewegung eigentlich glättet. Eine reale Flüssigkeit kann sich nicht unendlich schnell bewegen, daher würde es sich um ein Versagen des Modells selbst handeln.
Jean Leray bewies 1934, dass Lösungen in einem allgemeineren Sinne existieren, doch die Frage nach ihrer Glattheit blieb offen. Im Jahr 2000 nahm das Clay Mathematics Institute dieses Rätsel in die Liste der sieben Millennium-Probleme auf.
Ein Wirbel, der sich wie eine Spaghetti in die Länge zieht
Das System von OpenAI erstellte sowohl einen analytischen Beweis als auch eine Formalisierung in der Sprache Lean. Demnach kann eine Flüssigkeit, die glatt und in Ruhe beginnt, innerhalb endlicher Zeit eine Singularität bilden. Dabei wirkt eine glatte äußere Kraft auf die Flüssigkeit, während ihre Gesamtenergie die ganze Zeit über begrenzt bleibt. Damit wurden nach Angaben des Unternehmens die Varianten „C“ und „D“ der offiziellen Aufgabenstellung des Clay-Instituts gelöst.
Die Vorstellung hinter diesem Phänomen ist überraschend anschaulich. Es handelt sich um einen rotierenden Wirbel, der sich nach innen dreht und dabei immer weiter in die Länge zieht, ein wenig wie eine Spaghetti. Sein Zentrum schrumpft und beschleunigt zugleich so, dass die Energie weiterhin endlich bleibt, wie es die physikalischen Gesetze verlangen. Das Schwierige daran ist, dass der Kollaps aus der Bewegung der Flüssigkeit selbst hervorgehen muss und nicht dadurch, dass jemand von außen eine unendliche Kraft in sie einbringt. Beschleunigung, Druckgradienten, Impulsübertragung und Viskosität müssen gleichzeitig auf enorme Werte anwachsen und sich zugleich mit großer Präzision gegenseitig aufheben.
Ein Detail geht dabei leicht unter. Niemand behauptet, dass Wasser, das sich selbst überlassen wird, ohne Grund bis ins Unendliche beschleunigt. OpenAI befasst sich mit einer Variante, bei der eine glatte äußere Kraft auf die Flüssigkeit wirkt, was ausdrücklich Teil der offiziellen Aufgabenstellung ist.
Tausende Agenten lösten die Gleichung
Seit dem 28. August trainiert OpenAI ein neues Modell, das nach eigenen Angaben die unternehmenseigenen Tests einschließlich der mathematischen übertrifft, und dieses Training läuft noch immer. Am Dienstag, dem 1. September, erreichten das Unternehmen Gerüchte, jemand habe zwei Millennium-Probleme gelöst. Das veranlasste OpenAI dazu, das neue Modell auf alle noch offenen Millennium-Probleme und mehrere weitere schwierige Fragen anzusetzen. Statt eines einzelnen Modells mit einer einzelnen Frage trat eine ganze Armee an. Die Agenten erhielten Werkzeuge, konnten eine gespeicherte Kopie des Internets lesen sowie Code ausführen und wurden in Gruppen aufgeteilt, die intern miteinander kommunizierten. Die Gruppe, aus der die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen hervorging, bestand aus rund zehntausend gleichzeitig laufenden Agenten.
Zunächst wurde jedoch ein kleineres Problem gelöst. Das Unternehmen setzte die Agenten auch auf leichtere Aufgaben an, darunter eine vergleichbare Frage zu den Euler-Gleichungen, also den Navier-Stokes-Gleichungen ohne den Term, der die innere Reibung beschreibt. Die Agenten lösten sie, was OpenAI nach eigenen Angaben überraschte. An diesem Teil arbeiteten knapp hundert Agenten etwa fünfzig Stunden lang. Als das Unternehmen das Ergebnis zu den Euler-Gleichungen sah, zog es Ressourcen von den anderen Problemen ab und stellte es den Agenten zur Verfügung, die sich an die vollständigen Gleichungen machten. Anschließend ließ es die nützlichsten Erkenntnisse mithilfe des Werkzeugs Codex zwischen den Gruppen zirkulieren. Die Lösung lag am Samstag, dem 5. September, vor, ungefähr 88 Stunden nach dem Start.
Dann folgte die Überprüfung. Lean ist ein System für formale Beweise, das maschinell prüft, ob jeder einzelne Schritt exakt den vorgegebenen Regeln entspricht. Bei einem hundertseitigen Text besteht schließlich die Gefahr, dass er überzeugend klingt und dennoch einen verborgenen Fehler enthält. Die Formalisierung und Überprüfung in Lean dauerten weitere siebzehn Stunden und wurden vom Modell GPT-6 Astra durchgeführt.
Die Rechnung für dieses Gefecht sieht eher nach Rechenzentrum als nach mathematischem Seminar aus. Allein bei den Navier-Stokes-Gleichungen verschickten die Agenten 2,7 Millionen Nachrichten und erzeugten rund 130 Milliarden Token. Über alle Probleme hinweg waren es 4,9 Millionen Nachrichten und etwa 300 Milliarden Token. Wäre diese Rechenzeit zu den üblichen Preisen des Astra-Modells abgerechnet worden, hätte sie rund 22,5 Millionen Dollar gekostet.
War OpenAI wirklich zuerst
Der Mathematiker Tristan Buckmaster vom Courant Institute in New York veröffentlichte noch vor der Ankündigung von OpenAI einen Text, in dem er schilderte, dass er und Levent Alpöge, ein für Anthropic tätiger Wissenschaftler, mithilfe mehrerer Modelle beider Unternehmen zu einer nahezu identischen Lösung für einen Teil des Problems gelangt seien. Dieses Teilergebnis ist für sich genommen bereits ein großer Erfolg und ein bedeutender Schritt zur Lösung des gesamten Rätsels.
Nach Buckmasters Aussage erfuhr das Duo während der Fertigstellung seiner Arbeit, dass Informationen über seine Fortschritte zu OpenAI gelangt waren. Die erste Anfrage an das Modell des Konkurrenzunternehmens sei ihm zufolge erst in den letzten Tagen erfolgt, also nachdem die Gegenseite von ihrer Forschung erfahren hatte. Buckmaster beschrieb außerdem Gespräche vom 6. September, Druck hinsichtlich der Veröffentlichung und Urheberschaft sowie den Versuch, Alpöge wegen seiner Beschäftigung bei Anthropic auszuschließen.
Der Leiter des Mathematikteams von OpenAI, Sébastien Bubeck, weist diese Vorwürfe zurück. Ihm zufolge hatte das Modell keinerlei Zugang zu den Daten des Duos. Bei einer Pressekonferenz erklärte er, das Unternehmen habe weder deren Prompts noch deren Beweise zur Anleitung seiner Agenten verwendet. Bubeck räumt zugleich ein, dass der vollständige Beweis zu den Navier-Stokes-Gleichungen einen ähnlichen Weg nahm wie Buckmaster und Alpöge, doch den Teil zu den Euler-Gleichungen habe das interne Modell seiner Aussage nach auf völlig andere Weise gelöst. OpenAI selbst erkennt in seinem Text den Vorrang des Duos bei der erzwungenen Euler-Version an. Das Unternehmen schreibt, es habe ihnen eine gemeinsame Ankündigung angeboten, und behauptet, dass niemand aus dem Team und keiner der Agenten ihre Arbeit vor der Veröffentlichung gesehen habe.
Interessant ist auch eine Beobachtung der Gegenseite. Buckmaster und Alpöge überprüften ihren Beweis in Lean, doch die in Worte gefasste Erläuterung, die ihnen die Sprachmodelle lieferten, war ihrer Aussage nach nahezu unlesbar. Daher mussten sie die einzelnen Schritte analysieren und so umformulieren, dass auch andere Menschen sie verstehen konnten.
Kollegen aus der Branche missfällt zudem die Art und Weise, wie die Ergebnisse präsentiert werden. Terence Tao, den viele für den besten lebenden Mathematiker halten, beklagte sich während der Verbreitung der Gerüchte in den sozialen Netzwerken darüber, dass Unternehmen diese alten Probleme als Marketingbeleg für die Leistungsfähigkeit ihrer Modelle verwenden.
Mathematiker halten sich vorerst ein Hintertürchen offen
Die mathematische Fachwelt muss erst noch beurteilen, ob das Ergebnis die Bedingungen für eine offizielle Lösung des Millennium-Problems erfüllt. Erste Reaktionen deuten jedoch darauf hin, dass das Rätsel tatsächlich gelöst wurde.
Offen bleibt dabei die Version ohne äußere Kraft, also jene, die gewöhnlichem, sich selbst überlassenem Wasser am nächsten käme. Der Mathematiker Stan Palasek aus Princeton wies auf ein Hindernis bei einem der vorgeschlagenen Wege zu einem solchen Ergebnis hin. Seinem Argument zufolge würde der Energieverlust durch innere Reibung den Mechanismus überwiegen, der die Geschwindigkeit anwachsen lassen soll. Tao lobte seine Anmerkung und schlug vor, ein einfacheres Modell zu untersuchen, an dem sich dieses Zusammenspiel besser beobachten ließe.
Quellen: bbc.com und theverge.com
