Als am Sonntagabend die ganze Welt das WM-Finale zwischen Spanien und Argentinien verfolgte, schrieb der Mathematiker Levent Alpöge auf X ein paar unscheinbare Zeilen, die in der mathematischen Fachwelt für Aufsehen sorgten. Die Jacobi-Vermutung, ein seit 1939 ungelöstes Problem, sei seiner Ansicht nach falsch. In dem Beitrag dankte er einem Freund dafür, dass er ihn auf die Aufgabe angesprochen hatte, und einem zweiten Freund namens Fable dafür, dass er während des Spiels gearbeitet hatte. Bei diesem zweiten Freund handelte es sich um das Modell Claude Fable 5 des Unternehmens Anthropic.
Eine seit 87 Jahren ungelöste Vermutung
Die Jacobi-Vermutung stellt eine scheinbar einfache Frage. Man nehme eine polynomielle Abbildung, die aus mehreren Zahlen mithilfe von Addition und Multiplikation neue Zahlen erzeugt. Wenn die Jacobi-Determinante einer solchen Abbildung einer von null verschiedenen Konstanten entspricht, gibt es dann stets auch eine aus Polynomen zusammengesetzte Umkehrfunktion? Aus der klassischen Analysis folgt, dass eine von null verschiedene Jacobi-Determinante für die lokale Umkehrbarkeit notwendig ist. Die Vermutung besagte, dass dies auch global ausreichen sollte.
Erstmals formulierte Ludwig Kraus die Aufgabe bereits 1884 für zwei Variablen, ihre vollständige allgemeine Form gab ihr 1939 Ott-Heinrich Keller. Im Laufe der Zeit erwarb sie den Ruf einer Falle. Mindestens fünf veröffentlichte Beweise erwiesen sich als fehlerhaft, hinzu kamen Dutzende unveröffentlichter Versuche. Stephen Smale nahm das Problem 1998 in seine berühmte Liste der wichtigsten mathematischen Herausforderungen für das neue Jahrhundert auf, direkt neben der Riemannschen Vermutung. Der Mathematiker Tzuong-Tsieng Moh schätzte 2008, dass die Lösung die Menschheit noch weitere hundert Jahre beschäftigen könnte.
Levent Alpöge ist Zahlentheoretiker, arbeitet heute bei Anthropic und war zuvor Junior Fellow in Harvard. Die Frage stellte ihm Akhil Mathew, ein algebraischer Geometer von der University of Chicago. Alpöge gab sie dem Modell Fable 5 ein, und während auf den Bildschirmen das Finale lief, erhielt er ein überprüfbares Gegenbeispiel. Die gesamte Überprüfung dauerte einen Abend.
Was das Gegenbeispiel zeigt
Alpöge veröffentlichte keinen Beweis der Vermutung, sondern ihre Widerlegung. Er gab eine konkrete polynomielle Abbildung vom dreidimensionalen komplexen Raum in sich selbst an. Ihre Jacobi-Determinante ist konstant und beträgt minus zwei, womit sie alle von der Vermutung geforderten Bedingungen erfüllt. Dennoch werden drei verschiedene Punkte, konkret (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) und (-1, 3/2, 13/2), durch die Abbildung auf denselben Punkt (-1/4, 0, 0) abgebildet. Eine Funktion, die mehrere Eingaben auf dieselbe Ausgabe abbildet, kann nicht umgekehrt werden. Ein einziges solches Gegenbeispiel genügt, um die Vermutung zu Fall zu bringen.
hallo zusammen, die Jacobi-Vermutung ist falsch, danke an meinen guten Freund Akhil, dass er danach gefragt hat, und an meinen anderen guten Freund Fable, der während des WM-Finales gearbeitet hat
— levent (@__alpoge__) 20. Juli 2026
((1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x - 3 x^2 y - x^3 z): \C^3\to \C^3,…
Die Formel bestand aus lediglich 216 Zeichen, und jeder kann sie von Hand oder mit gewöhnlicher mathematischer Software überprüfen. Alpöge fügte dem Beitrag Links zu Wolfram Alpha hinzu. Der Wikipedia-Eintrag zur Jacobi-Vermutung wurde innerhalb weniger Stunden so bearbeitet, dass die behauptete Widerlegung erwähnt wurde.
Reaktionen von Mathematikern
Der Zahlentheoretiker Jared Duker Lichtman von Stanford bezeichnete das Ergebnis als bemerkenswert und erinnerte daran, dass es sich um eines der zentralen ungelösten Probleme der algebraischen Geometrie handelt. Bartosz Naskręcki wies darauf hin, dass es alles andere als einfach sei, ein solches Gegenbeispiel zu finden, und dies der Suche nach einer Nadel im Heuhaufen gleiche, da dafür echtes Verständnis erforderlich sei. Er wartet nun auf eine vollständige Analyse von Alpöge. Vidit Nanda aus Oxford deutete an, dass dieser Fund eine Welle ähnlicher Entdeckungen auslösen könnte. New Scientist schrieb, die Antwort habe die Mathematiker überrascht, und bezeichnete die Aufgabe als das schwierigste mathematische Problem, das künstliche Intelligenz je geknackt habe.
Andrew Blumberg von der Columbia University, der an einem Projekt zur Prüfung der Fähigkeiten künstlicher Intelligenz in der mathematischen Forschung beteiligt ist, sagte Mashable, dies habe seine bisherigen Erwartungen nicht verändert, da er von solchen Modellen genau das erwarte. Der OpenAI-Forscher Aaron Lou erklärte zudem, dass eine interne Version ihres Codex-Modells im Wesentlichen selbstständig dasselbe Gegenbeispiel gefunden habe.
Fable 5 und weitere Auswirkungen
Das Modell Fable 5 erschien im Juni und wurde hauptsächlich für anspruchsvolle Programmierprojekte und mehrtägiges selbstständiges Arbeiten entwickelt. Alpöge setzte es jedoch eher als Forschungspartner ein. Sollte das Gegenbeispiel die fachliche Begutachtung bestehen, dürfte dies auch Auswirkungen auf die Dixmier- und die Poisson-Vermutung haben. Derzeit wartet das Ergebnis auf dem arXiv-Server auf eine Begutachtung, wo bereits ein Preprint mit einer Analyse der Konstruktion vorliegt.
Diese Geschichte enthält übrigens auch ein Stück Historie. Die Jacobi-Vermutung trug einst dazu bei, die Promotion des Mathematikers Yitang Zhang scheitern zu lassen, dem gesagt wurde, er sei an ihr gescheitert. Zhang wurde später durch seine Arbeit über Lücken zwischen Primzahlen berühmt und zu einer der Legenden seines Fachgebiets. Dass die Aufgabe, an der er scheiterte, schließlich durch eine während eines Fußballfinales auf X eingetippte Formel zu Fall gebracht wurde, erscheint vielen Mathematikern beinahe poetisch gerecht.
Quellen: glitchwire.com, coindesk.com und newscientist.com
