Když v neděli večer sledoval celý svět finále mistrovství světa mezi Španělskem a Argentinou, matematik Levent Alpöge napsal na síť X pár nenápadných řádků, které rozvířily matematickou obec. Jacobiho domněnka, otevřený problém od roku 1939, je podle něj nepravdivá. V příspěvku poděkoval kamarádovi, že se ho na tu úlohu zeptal, a druhému kamarádovi jménem Fable za to, že makal během zápasu. Tím druhým kamarádem byl model Claude Fable 5 od společnosti Anthropic.
Nevyřešená domněnka stará 87 let
Jacobiho domněnka klade zdánlivě prostou otázku. Vezměte polynomiální zobrazení, které z několika čísel udělá pomocí sčítání a násobení čísla nová. Pokud je jakobián takového zobrazení roven nenulové konstantě, existuje k němu vždy i inverzní funkce složená z polynomů? Z klasického kalkulu plyne, že nenulový jakobián je pro lokální obrácení nutný. Domněnka tvrdila, že by měl stačit i globálně.
Poprvé úlohu zformuloval pro dvě proměnné Ludwig Kraus už v roce 1884, plnou obecnou podobu jí dal Ott-Heinrich Keller v roce 1939. Postupem času si vysloužila pověst pasti. Nejméně pět publikovaných důkazů se ukázalo jako chybných, nepublikovaných pokusů byly desítky. Stephen Smale zařadil problém v roce 1998 na svůj slavný seznam nejdůležitějších matematických výzev pro nové století, hned vedle Riemannovy hypotézy. Matematik Tzuong-Tsieng Moh v roce 2008 odhadoval, že vyřešení by lidem mohlo trvat dalších sto let.
Levent Alpöge je teoretik čísel, který dnes pracuje v Anthropicu a předtím působil jako Junior Fellow na Harvardu. Otázku mu položil Akhil Mathew, algebraický geometr z Chicagské univerzity. Alpöge ji zadal modelu Fable 5, a zatímco na obrazovkách běželo finále, dostal zpět ověřitelný protipříklad. Celé ověření trvalo jeden večer.
Co protipříklad ukazuje
Alpöge nezveřejnil důkaz domněnky, ale její vyvrácení. Napsal konkrétní polynomiální zobrazení z trojrozměrného komplexního prostoru do sebe sama. Jeho jakobián je konstantní a rovná se minus dvěma, takže splňuje všechny podmínky, které domněnka žádá. Přesto tři různé body, konkrétně (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) a (-1, 3/2, 13/2), končí po zobrazení ve stejném bodě (-1/4, 0, 0). Funkce, která posílá více vstupů na jeden výstup, nemůže být obrácena. Stačí jediný takový protipříklad a domněnka padá.
Vzorec měl pouhých 216 znaků a kdokoli si ho může ověřit ručně nebo v běžném matematickém softwaru. Alpöge k příspěvku připojil odkazy na Wolfram Alpha. Heslo o Jacobiho domněnce na Wikipedii se během několika hodin upravilo tak, aby zmiňovalo tvrzené vyvrácení.
Reakce matematiků
Číselný teoretik Jared Duker Lichtman ze Stanfordu výsledek označil za pozoruhodný a připomněl, že jde o jeden z ústředních otevřených problémů algebraické geometrie. Bartosz Naskręcki upozornil, že najít takový protipříklad není žádná legrace a připomíná to hledání jehly v kupce sena, protože vyžaduje skutečné pochopení, a čeká na plný rozbor od Alpögeho. Vidit Nanda z Oxfordu naznačil, že tento nález může spustit vlnu podobných objevů. New Scientist napsal, že odpověď matematiky zaskočila, a označil úlohu za nejtěžší matematický problém, jaký kdy umělá inteligence rozlouskla.
Andrew Blumberg z Kolumbijské univerzity, který se podílí na projektu testujícím schopnosti umělé inteligence ve výzkumné matematice, řekl serveru Mashable, že mu to nezměnilo předchozí očekávání, protože přesně tohle od takových modelů čeká. Výzkumník OpenAI Aaron Lou navíc uvedl, že interní verze jejich modelu Codex našla v podstatě stejný protipříklad sama.
Fable 5 a další dopady
Model Fable 5 vyšel v červnu a vznikl hlavně pro náročné programátorské projekty a několikadenní samostatnou práci. Alpöge ho ale použil spíš jako výzkumného spolupracovníka. Pokud protipříklad projde odborným posouzením, mělo by to dopadnout i na Dixmierovu a Poissonovu domněnku. Zatím výsledek čeká na recenzi na serveru arXiv, kde už existuje preprint s rozborem konstrukce.
Na tomhle příběhu je mimochodem i kus historie. Jacobiho domněnka kdysi pomohla potopit doktorát matematika Yitang Zhanga, kterému řekli, že na ní selhal. Zhang se později proslavil prací o mezerách mezi prvočísly a stal se jednou z legend oboru. Že úlohu, na které ztroskotal, nakonec srazil vzorec vyťukaný na X během fotbalového finále, přijde mnoha matematikům skoro poeticky spravedlivé.
Zdroje: glitchwire.com, coindesk.com a newscientist.com
