Po osmi desetiletích marného snažení padla jedna z nejslavnějších nevyřešených záhad geometrie. Vyřešil ji chatbot.
OpenAI oznámilo, že jeho jazykový model vyvrátil takzvanou Erdősovu domněnku o vzdálenostech bodů v rovině, neboli problém jednotkové vzdálenosti. Důkaz prověřila skupina devíti externích matematiků. A jejich verdikt byl jednoznačný: jde o první případ, kdy umělá inteligence samostatně vyřešila problém stěžejní pro celý obor matematiky.
„Žádný dřívější důkaz vygenerovaný umělou inteligencí se ani zdaleka nepřiblížil těmto standardům," napsal Timothy Gowers, matematik z Cambridgeské univerzity a držitel Fieldsovy medaile, v komentáři, o který OpenAI požádalo.
Problém jednotkové vzdálenosti
Legendární maďarský matematik Paul Erdős položil v roce 1946 zdánlivě jednoduchou otázku: pokud rozmístíte n bodů v rovině, kolik dvojic bodů může ležet přesně jednu jednotku od sebe? Zkuste to sami. Nakreslete devět teček. Cíl je dostat co nejvíce párů bodů, které jsou od sebe vzdáleny přesně jeden centimetr. Seřaďte je do řady a máte osm takových párů. Nakreslete mřížku tři krát tři a dostanete dvanáct párů.
Erdős tvrdil, že nejlepší dosažitelné uspořádání roste jen mírně rychleji než samotný počet bodů. Nikdo to 80 let nedokázal ani potvrdit, ani vyvrátit. Přitom téměř všichni odborníci předpokládali, že Erdős má pravdu. Nejlepší tehdy dosažitelné horní ohraničení, které v roce 1984 stanovili Spencer, Szemerédi a Trotter, říkalo, že počet párů nemůže překročit hodnotu přibližně n na 4/3. Nejlepší dosažitelné dolní ohraničení, tedy nejlepší reálně sestrojené konfigurace, ale tuto mezeru nedokázalo zaplnit.
Jak model OpenAI došel k závěru?
Matematici Mehtaab Sawhney a Mark Sellke z OpenAI zadali problém internímu jazykovému modelu trénovanému pro obecné uvažování. Nepomáhali mu krok za krokem, nenaváděli ho k tématu. Model sám, po stovkách stránek výpočtů a logických kroků, dospěl k výsledku. A výsledek byl překvapivý. Model nenašel potvrzení Erdősovy domněnky. Vyvrátil ji.
Sestrojil nekonečnou rodinu konfigurací bodů, které dosahují alespoň n^(1+δ) párů jednotkové vzdálenosti pro nějaké fixní kladné δ. Jinými slovy: ukázal, že existují uspořádání bodů, která fungují podstatně lépe, než se po celá desetiletí předpokládalo.
Přínos se na první pohled může zdát skromný. Vědec z Princetonu Will Sawin vzápětí výsledek zpřesnil a stanovil, že exponent δ = 0,014. Číslo je sice malé, ale posun, který představuje, je obrovský. Poprvé v historii někdo sestrojil uspořádání, jehož výkon roste polynomiálně rychleji, než předpokládala Erdősova domněnka. To ji doslova vyvrací. „Je to úžasný zážitek, když vám stroj vrátí něco, co opravdu připomíná způsob mého vlastního myšlení," řekl Sawhney.
Algebraická teorie čísel v geometrickém problému
Co model přesně udělal? Místo jednoduché čtvercové mřížky sestrojil složitější strukturu existující ve vyšší dimenzi, využívající speciální matematické symetrie. Pak vyvinul způsob, jak tuto mnohorozměrnou strukturu zobrazit zpět do roviny jako jakousi „stínovou projekci". Výsledná konfigurace není mřížka. Nelze ji jednoduše nakreslit ani na velký papír.
Klíčové nástroje pocházejí z algebraické teorie čísel, konkrétně z teorie takzvaných věžových těles třídových polí a Golodovy-Shafarevičovy věty. Jde o aparát, který nikdo předtím s tímto geometrickým problémem nespojoval.
Model neobjevil zcela nové matematické nástroje. Použil existující metody. Ale jejich propojení a aplikaci na problém jednotkové vzdálenosti nikdo před ním neprovedl. „Model nevynalezl nic zásadně nového, co by nikdo neviděl přicházet," říká Sébastien Bubeck, matematik vedoucí matematický výzkum OpenAI. „Prostě se předvedl jako úžasný matematik."
Proč to lidé neviděli 80 let?
Harvardská matematička Melanie Wood Wood má jasno. Lidé se mýlili v předpokladu, ne v matematice. Naprostá většina expertů věřila, že Erdős má pravdu, a věnovala energii spíše hledání důkazu jeho domněnky, ne jejímu vyvracení. Ti, kdo se o vyvracení pokoušeli, by cestu přes složitou algebraickou geometrii pravděpodobně opustili dřív, než by ji dokončili, protože neviděli žádný slibný signál úspěchu.
Jenže AI funguje jinak. „AI má výhodu: nejde jen o to, že může zkoušet všechny známé metody," říká Jacob Tsimerman z Torontské univerzity. „Může hrát déle a v nebezpečnějších vodách, aniž by ji to odradilo." Kdyby stejnou skupinu matematiků shromáždili a nechali je hledat protipříklad, pravděpodobně by ho našli. „Možná by lidé měli trávit víc času hraním si na ďáblova advokáta," říká Wood.
Důkaz prošel tím nejpřísnějším testem
OpenAI tentokrát postupovalo opatrně. A bylo proč. Před sedmi měsíci tehdejší viceprezident OpenAI Kevin Weil s fanfárami oznámil na síti X, že GPT-5 vyřešil deset dříve nevyřešených Erdősových problémů. Výsledek se sesypal během prá dní. Ukázalo se, že model pouze našel řešení, která již v literatuře existovala. Demis Hassabis z Google DeepMind se posmíval a konkurenti jásali. Weil svůj příspěvek následně stáhl.
Tentokrát OpenAI oslovilo matematiky předem. Mezi nimi byl i Thomas Bloom, matematik, který Weilovo dřívější prohlášení označil za „dramatické zkreslení skutečnosti." Teď Bloom stojí za novým výsledkem. Devět předních matematiků napsalo doprovodnou ověřovací studii. Timothy Gowers uvedl, že by bez váhání doporučil výsledek k publikaci v Annals of Mathematics, jednom z nejprestižnějších matematických časopisů světa. „Toto je jediný skutečně zajímavý výsledek, který AI dosud autonomně vytvořila," říká Daniel Litt z Torontské univerzity.
Dopad pro matematiku a AI výzkum
Sawhney a Sellke pracují pro OpenAI na testování, zda pokročilé modely dokážou přispívat k výzkumu na hranici poznání. Model, který problém vyřešil, není specializovaný matematický nástroj. Jde o obecný model trénovaný pro složité uvažování. Matematici upozorňují, že bez lidského zapojení by výsledek tak přesvědčivý nebyl. Lidé hráli roli při čistění, ověřování a interpretaci AI výstupu. „Lidé stále plní zásadní roli při diskuzi, trávení a zdokonalování tohoto důkazu a při prozkoumávání jeho důsledků," napsal matematik Thomas Bloom.
Zaznívá ale i vážná výtka. Wood upozornila, že model ve svém výstupu nereagoval na příbuzné existující práce a nepřiznal jim zásluhy. „Kdybychom si my matematici nevšimli podobných myšlenek v literatuře a nepřipisovali jim zásluhy, bylo by to profesní pochybení," říká. Mezi tím je Litt opatrně optimistický. Případ jednotkové vzdálenosti byl, zdá se, jedním z těch, kde odborníci prostě přehlédli relativně jednosměrné řešení. „Myslím, že se teprve chystáme zjistit, že takových případů není tak málo, jak jsme si mysleli."
A Bloom s nadsázkou dodává: „AI nám pomáhá plněji prozkoumávat katedrálu matematiky, kterou jsme po staletí stavěli. Jaké další, pro nás neviditelné, poklady čekají za rohem?"
